海伦公式是什么
海伦公式表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)。海伦公式利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。 相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。
求海伦公式的推导过程
证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
证明:设边c上的高为 h.则有
√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c
√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)
两边平方.化简得:
2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2
两边平方.化简得:
h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))
SΔABC=ch/2
=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2
仔细化简一下.得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
用三角函数证明!
证明:
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)
∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)
∴代入(1)式.(仔细)化简得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 ：
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
海伦公式证明过程:三角形三边为a,b,c.
其面积S=根号 其中p=(a+b+c)/2.
解题过程一共分5步：
（1）用余弦定理求出cosA,
（2）利用cosA与sinA的平方关系,求出sinA,
（3）S=(bc sinA)/2,平方后再化简,
（4）对海伦公式反向分析:先平方,将p=（a+b+c)/2代入化简,
（5）将（3）与（4）两步的结果比较即可