逆矩阵定理？
定理
验证两个矩阵互为逆矩阵
按照矩阵的乘法满足：
故A，B互为逆矩阵。
逆矩阵的唯一性
若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
证明：
若B,C都是A的逆矩阵，则有
所以，即A的逆矩阵是唯一的。
判定简单的矩阵不可逆
如
假设有
是A的逆矩阵，则有
比较其右下方一项：。
若矩阵A可逆，则
若A可逆，即有，使得，故
计算
若，则矩阵A可逆，且
其中，A为矩阵A的伴随矩阵。
性质
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作。
4、可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且(转置的逆等于逆的转置）
5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即，则，则。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明
1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有
2、假设B和C均是A的逆矩阵，，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
3、由逆矩阵的唯一性，A的逆矩阵可写作（A）和A，因此相等。
AB=AC
4、矩阵A可逆，有。由可逆矩阵的定义可知，A可逆，其逆矩阵为（A）。而（A）也是A的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此。
5、1）在两端同时左乘A（BA=O同理可证），得，故）由（同理可证），，等式两边同左乘A，因A可逆。得，即。
可逆的等价条件
1、齐次方程方程组仅有零解。
2、A行等价与单位矩阵I
3、A可写成若干个初等矩阵之积。
4、是（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。
证明
必要性：当矩阵A可逆，则有。（其中I是单位矩阵）
两边取行列式，
由行列式的性质：
则，（若等于0则上式等于0）
充分性：有伴随矩阵的定理，有
（其中是的伴随矩阵。）
当，等式同除以，变成
比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵
求法
求逆矩阵的初等变换法
将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵
逆矩阵的求法？
逆矩阵求法：
方法有很多如（伴随矩阵法，行（列）初等变换等）。以伴随矩阵法来求其逆矩阵。
1、判断题主给出的矩阵是否可逆。
2、求矩阵的代数余子式，A11、A12、A13、A21、A22、A32、A31、A32、A33。
3、求伴随矩阵。
4、得到逆矩阵。
相关性质
(1)A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵。
(2)单位矩阵E是可逆的。
(3)零矩阵是不可逆的，即取不到B，使OB=BO=E。
(4)如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE =B(AC)=(BA)C=EC=C。
三阶矩阵的逆矩阵怎么求？
三阶矩阵的逆矩阵求的方法:首先用待定系数法
，求矩阵的逆阵。
举例：
矩阵A=
1 2
-1 -3
假设所求的逆矩阵为
a b
c d
则
从而可以得出方程组
a+2c=1
b+2d=0
-a-3c=0
-b-3d=1
解得
a=3
b=2
c=-1
d=-1
4
所以A的逆矩阵A⁻¹=
3 2
-1 -1
扩展资料：
关于逆矩阵的性质：
1、矩阵A可逆的充要条件
是A的行列式
不等于0。
2、可逆矩阵
一定是方阵。
3、如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
4、可逆矩阵也被称为非奇异矩阵
、满秩矩阵。